2021 年
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一道复数方程组问题
题目：求所有的正整数 n 使方程组 { x+y+z=3 x^2+y^2+z^2=3 x^n+y^n+z^n=3 . 在复数范围内有唯一解． 解答：显然方程组有解 (x,y,z)=(1,1,1) ． 当 n=1、2 时，…
2021年拉特飞·扎德数学奥林匹克
公众号原标题：2021年拉特飞·扎德数学奥林匹克——中文翻译拉特飞·扎德（Lotfi Zadeh，1921年2月-2017年9月6日），男，生于现阿塞拜疆的首都巴库，“模糊集之父”
2021年第一届OIMC模拟赛（勘误）
公众号原标题：2021年第一届OIMC模拟赛——中文翻译（勘误）OIMC(Online International Mathematical Cup)是一个形式与IMO相同的在线模拟赛，第一届于2021年八月举办．
2021年第一届OJIMC模拟赛
公众号原标题：2021年第一届OJIMC模拟赛——中文翻译昨天发的OIMC的初中版，即Online Junior International Mathematical．
2021年第一届OIMC模拟赛
公众号原标题：2021年第一届OIMC模拟赛——中文翻译OIMC(Online International Mathematical Cup)是一个形式与IMO相同的在线模拟赛，第一届于2021年八月举办．
2021年MMO模拟赛
公众号原标题：2021年MMO模拟赛——中文翻译盏不同的灯均匀分布在一个圆周上．第一天，其中一部分的灯亮着．在此后的任意一天，当且仅当某盏灯的左右两盏灯恰有
20道用阿贝尔变换证明的不等式
阿贝尔分部求和公式：令 S_0=0，S_k=Σ_(i=1)^ka_i （1≤ k≤ n），则 Σ_(k=1)^n a_k b_k=Σ_(k=1)^(n-1) S_k(b_k-b_(k+1))+b_n S_n． …
加拿大CRUX杂志问题4691-4700
公众号原标题：加拿大CRUX杂志问题4691-4700——中文翻译△ ABC 内接于圆 Γ，U_1，U_2，U_3 为 Γ 上异于 A，B，C 的三点．设 σ_i 为 U_i 关于 △ ABC 的西姆松线（i=1,2,3），…
加拿大CRUX杂志问题4671-4680
公众号原标题：加拿大CRUX杂志问题4671-4680——中文翻译给定 △ ABC 以及边 BC 上一点 M，设 r_1，r_2 分别为 △ ABM 和 △ ACM 的内切圆半径．求 r_1+r_2 取得最大值时点 M 的位置． 有理数 a，b，…
2021-2022年英国数学奥林匹克（第一轮）
公众号原标题：2021-2022年英国数学奥林匹克（第一轮）——中文翻译求小于 400 的三个偶数，每个偶数至少可以用六种不同的方式表示为连续正奇数之和． （如果两个表达式包含不同的数字，则认为它们是不同的，表达式中数字的顺序无关紧要） 一天，…
16道用数学归纳法证明的不等式
用数学归纳法证明下列不等式：（柯西不等式）设 a_1,a_2,…,a_n 和 b_1,b_2,…,b_n 是两个实数列，…
32道含绝对值的不等式
两个实数列 a_1,…,a_n;b_1,…,b_n 满足 Σ a_i^2=Σ b_i^2 = 1，证明 (a_1b_2-a_2b_1)^2≤ 2 | a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n-1|. 设 a_1, …
15道数学竞赛中的方程（组）问题
（2006年加拿大数学奥林匹克） 解方程组：v_i=1+(6v_i^2)/(v_1^2+v_2^2+…+v_10^2)(1≤ i≤ 10). （2016年ELMO） 求所有的正整数 n，…
齐次化思想在代数变形中的应用
在数学中，我们把一个代数式中各项的次数都相同的式子称为⻬次式．更严谨的定义如下：设含有变量 x_1、x_2、…、x_n 的 不 等式，如果对任意正数 λ，…
加拿大CRUX杂志问题4681-4690
加拿大 CRUX 杂志问题 4681—4690 的中文翻译
2021年伊比利亚美洲大学生数学竞赛
公众号原标题：2021年伊比利亚美洲大学生数学竞赛——中文翻译虽然是大学生数学竞赛，但里面很多题都是更贴近于高中竞赛的
2021年广西预赛题的构造思路
2021 年广西预赛的最后一题为：题目1 某校 n 名同学通过选拔进入学校的数学讨论班．在一次讨论班上他们讨论 A、B 和 C 三个问题．已知每位同学都和班里的其他所有同学讨论了其中的一个问题，…
Fan不等式相关问题的整理
最近在各个微信群里看到了一些不等式，都和Fan不等式有关．本文简单地做个整理：设 b_i，i=1，2，…，n，且 Σ_(i=1)^nb_i=0 ．则 Σ_(i=1)^n b_i b_(i+1) ≤ cos (2 …
2021年墨西哥数学奥林匹克
公众号原标题：2021年墨西哥数学奥林匹克——中文翻译正实数 a_1，a_2，a_3 为等差数列的连续三项．相异正实数 b_1，b_2，b_3 也为等差数列的连续三项．能否分别以 a_1，a_2，a_3 为长，b_1，b_2，b_3 为宽，…
Mathematical Reflections 2021年第六期征解题
初级组 Junior Preblems J571． 二次方程 m^5 x^2-(m^7+m^6-m^4-m) x+m^8-m^5-m^3+1=0 的两根为 x_1，x_2，…
2021年印度尼西亚数学奥林匹克
公众号原标题：2021年印度尼西亚数学奥林匹克——中文翻译第一天 黑板上顺次写着数字：1，2，3，4，5，6，7，8，9 ．Andi在每两个相邻的数字之间放置 + （加号）或者 - （减号），…
单墫教授一道不等式的另证及推广
近段时间没怎么做题，今晚翻看各公众号的题目，发现单墫教授发的一道不等式难题：设 a，b，c> 0，a+b+c=ab+bc+ca ．求证：√(ab)+√(bc)+√(ca)≥ 2+√(abc)． 不少老师给出了证明，…
Mathematical Reflections 2021年第五期征解题
初级组 Junior Preblems J565． 设 f(m, n)=(m n+4)^2+4(m-n)^2 ．求证：f(2021^2, 2023^2) 能被 (2022^2+1)^2 整除． J566． 设正实数 a，…
2021年Deux数学奥林匹克
公众号原标题：2021年Deux数学奥林匹克——中文翻译相关链接：2020DEUX数学奥林匹克 第一天 正实数 a，b，c，d 满足 a+c=b+d，且 ab=3cd ．求最大的常数 k，…
丘成桐数学零试第1题及类似一题
2021年9月4日的清华大学丘成桐数学零试第一题如下：完整试题及解析见：【修订版】丘成桐数学零试完整试题&解析发布！…
赛题翻译文章合集
以下为本公众号创立以来发的翻译文章合集（含转载） 更多赛题翻译可见：2020年翻译文章合集 2019年翻译文章合集 2021年科索沃数学奥林匹克 中文翻译 2020巴西数学奥林匹克 第二级 中文翻译 2021哈佛 …
一道IMOC不等式及加强的证明
2021年中国台湾IMOC代数组第7题如下：（全部试题见：2021年中国台湾IMOC中文翻译（全）） 题目：对任意满足 a^2+b^2+c^2+d^2=4 的正实数 a，b，c，d，…
2021年中国台湾IMOC——数论组
公众号原标题：2021年中国台湾IMOC中文翻译——数论组每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，…
2021年中国台湾IMOC（全）
公众号原标题：2021年中国台湾IMOC中文翻译（全）这只是一个合集，文末有PDF版链接
2021年中国台湾IMOC——组合组
公众号原标题：2021年中国台湾IMOC中文翻译——组合组每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代．
2021年中国台湾IMOC——代数组
公众号原标题：2021年中国台湾IMOC中文翻译——代数组每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代．
一道计数小题的分析
2021年北京大学优秀中学生暑假学堂数学测试的第一题如下：求集合 {1,2,…,2021} 的非空子集中元素和为 3 的倍数的集合个数． 这是一道很陈的题了，…
2021年中国女子数学奥林匹克试题(两天全)
第一天 设 n 是正整数，x_1，x_2，…，x_(n+1)，p，q 是正实数，满足 p< q，且 x_(n+1)^p>x_1^p+x_2^p+…+x_n^p． 1 证明：x_(n+1)^q> …
2021年中国女子数学奥林匹克（第一天）
n^+，x_1，x_2，…，x_(n+1)，p，q^+，其中 p< q，满足 x_(n+1)^p> Σ_(i=1)^nx_i^p，求证：1 x_(n+1)^q> Σ_(i=1)^nx_i^q；…
2021年北大夏令营试题（文字版）
试题来源：小猿高中数学竞赛公众号 第一天 a_1，a_2，a_3，a_4，k 是两两不同的正整数，且不小于 80，求 (a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2-4k^2)k^2 的最小值． 在 △ ABC 中，…
tkz-euclid常用作图代码分享
前段时间不少人问到LaTeX作图的教程，这里分享一下刘金波老师整理的tkz euclid的常用作图代码。（可以按照关键词搜索）更多信息参见tkz euclid的宏包文件。…
一道无理数集合问题的图论解法
公众号原标题：【教学笔记】一道无理数集合问题的图论解法今天给学生讲了一道2019年百子S8等级的考试题目． 题目：一个由实数构成的集合 M 称为“幸运集“，若它满足以下性质：对每个 x,y∈ M，x≠ y，数 x+y，xy 均不为 0，且恰好有一个是有理数；…
Mathematical Reflections 2021年第四期征解题
初级组 Junior Preblems J559． 设 a_n=1-(2n^2)/(1+√(1+4n^4)),n=1,2,3,… 求证：√(a_1)+2√(a_2)+…+20√(a_20) 为整数． J560． 设 a，…
2021年陈省身杯数学奥林匹克
本次比赛分两天进行，时间为2021年7月24日和7月25日的18:00 21:00． 第一天 已知非等腰锐角 △ ABC 的三条高线分别为 AD，BE，CF，其中，D，E，F 分别为垂足． △ AEF，△ BFD，…
一道IMO题目的经典构造
公众号原标题：【教学笔记】一道IMO题目的经典构造今天给学生讲了1977年IMO的第2题：若自然数 n 满足如下条件：存在由 n 个实数组成的数列，使得任意连续 7 项之和为负，任意连续 11 项之和为正．求 n 的最大值． 首先容易得到 n 的一个上界 77，…
