2021 年
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数学竞赛每日一练 第8期解答
设 a_1,a_2,…,x_n，z_1,z_2,…,z_n，求证：|Σ_(k=1)^na_kz_k|^2≤1/2(Σ_(k=1)^na_k^2)·(Σ_(k=1)^n|z_k|^2+|Σ_(k=1)^nz_k^2|)． …
数学竞赛每日一练 第7期解答
定义函数 f:Z，∀ x,y 有 f(x^2-3y^2)+f(x^2+y^2)=2(x+y)f(x-y)． 若 n> 0 则 f(n)> 0，并且 f(2015)· f(2016) 是完全平方数，…
数学竞赛每日一练 第6期解答
2021年马其顿数学奥林匹克。梯形中求证「EZ 与 ω 相切」与「BE 与三角形 BXY 的外接圆相切」互为充要条件——用有向角把两者一并归到弦切角定理
数学竞赛每日一练 第12期
题目来源：2017年全国高中数学联赛二试 已知数列 {a_n} 满足 a_1=1，a_(n+1)={ x_n+n ,x_n≤ n x_n-n ,x_n>n . 求满足不等式 a_r< r≤ 3^2017 的正整数 r …
数学竞赛每日一练 第5期解答
2021年浙江省女奥选拔试题。数列按 x 与 n 的大小关系在 x+n 与 x−n 之间递推，求所有使 x_n=0 的下标。原文只写「简解」，这里把两条断言补齐证明，零点恰为 (5·3^(k−1)−1)/2
数学竞赛每日一练 第11期
今天高考，所以发一道高考题吧。题目来源：2010年江西省高考理数第22题 证明：存在无穷多个互不相似的三角形 △_n，其边长 a_n，b_n，c_n 为正整数，且 a_n^2，b_n^2，c_n^2 成等差数列．
数学竞赛每日一练 第4期解答
给定一个正整数数 n ．求证：总能选取 n 的 φ(n)+1 个约数（可以相同），使得其和恰好为 n ．（这里 φ(n) 为小于 n 且和 n 互素的正整数个数．） 解答 给出两个定义：如果正整数 n 能表示成其 …
数学竞赛每日一练 第10期
题目来源：百子菁英计划青少年数学爱好者沙龙（20210502期）各阶段真题速览 S6第12题 设 n 是大于 1 的偶数，…
数学竞赛每日一练 第3期解答
求由 63 个不全相等的整数构成的可重集合，使得其中每一个数的平方等于其余所有数之和． 解答 设所求的 63 个整数为 x_1，x_2，…，…
数学竞赛每日一练 第2期解答
在 △ ABC 中，AB>AC，它的内切圆切边 BC 于点 E，连接 AE 交内切圆于点 D （不同于点 E ．在线段 AE 上取异于点 E 的一点 F，使得 CE=CF，连接 CF 并延长，…
数学竞赛每日一练 第9期
数列 (x_n)_(n=1)^(+∞) 满足 x_1=7/2，x_(n+1) = x_n(x_n-2) ．设 x_2021=a/b，其中 a,b ∈ N 且互素．求证：若 p 为 a 的一个素因子，…
数学竞赛每日一练 第8期
设 a_1,a_2,…,x_n，z_1,z_2,…,z_n，求证：|Σ_(k=1)^na_kz_k|^2≤1/2(Σ_(k=1)^na_k^2)·(Σ_(k=1)^n|z_k|^2+|Σ_(k=1)^nz_k^2|)．
数学竞赛每日一练 第1期解答
题目1 （2021土耳其TST）求所有的正整数 n，使得存在一组实数 x_1，x_2，…，x_n 满足，对任意 i=1,2,…,n，均有 i≤ x_i≤ 2i，…
数学竞赛每日一练 第7期
定义函数 f:Z，∀ x,y 有 f(x^2-3y^2)+f(x^2+y^2)=2(x+y)f(x-y)． 若 n> 0 则 f(n)> 0，并且 f(2015)· f(2016) 是完全平方数，…
数学竞赛每日一题 第6期
题目来源：2021年马其顿数学奥林匹克——中文翻译 在梯形 ABCD 中，AD ∥ BC，且 ∠ BCD < ∠ ABC < 90^° ．设 E 为对角线 AC 和 BD 的交点． △ BEC 的外接圆 ω 在 X …
数学竞赛每日一练 第5期
题目来源：2021年浙江省女奥选拔试题 已知数列 x_0=0，x_1=1，x_(n+1)={ x_n+n ,x_n< n x_n-n ,x_n≥ n . 求数列 {x_n} 中使 x_n=0 的所有项．
数学竞赛每日一练 第4期
本题来源：2021年乌克兰数学奥林匹克——中文翻译 给定一个自然数 n ．求证：总能选取 n 的 φ(n)+1 个约数（可以相同），…
2021年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
以下为试题 以下为解答
数学竞赛每日一练 第3期
今天的题目来自 2021年基辅数学节——中文翻译 求由 63 个不全相等的整数构成的可重集合，使得其中每一个数的平方等于其余所有数之和． 是否对于任意的 n≥ 2021，均存在 n 个不全相等的整数，…
数学竞赛每日一练 第2期
在 △ ABC 中，AB>AC，它的内切圆切边 BC 于点 E，连接 AE 交内切圆于点 D （不同于点 E ．在线段 AE 上取异于点 E 的一点 F，使得 CE=CF，连接 CF 并延长，…
数学竞赛每日一练 第1期
根据公众号粉丝建议，从今天开始开设数学竞赛每日一练的栏目，欢迎解答并投稿。微信号：gen951013
四面体中的钝二面角个数
题目 （2008年安徽省预赛）四面体的 6 个二面角中钝角个数最多为＿＿＿． 首先容易猜测出答案为 3，并给出一个构造如下：考虑正三棱锥 P-ABC，当点 P 足够接近平面 ABC 时，…
2021年浙江省预赛第9题的题目错误
2021 年浙江省预赛的第 9 题如下：题目 已知 △ ABC 三个顶点的坐标为 A(0,0)，B(7,0)，C(3,4)，过点 D(6-2√(2),3-√(2)) 的直线分别与线段 AC，AB 交于 P，…
2021年全国高中数学联赛（四川预赛）试题
考试时间：2021 年 5 月 23 日 14:30-16:30 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分． 过抛物线 y=x^2 上两点 A(1,y_1)，…
一个三元不等式
题目1 非负实数 a，b，c 满足 a+b+c=6，求 ∑_(cyc)√(a^(2)+bc) 的最大值． 分析1 首先当然是猜测取得最值的条件，代入几组特殊的 (a,b,c)，…
2021年马其顿数学奥林匹克
公众号原标题：2021年马其顿数学奥林匹克——中文翻译数列 (a_n)^(+∞)_(n=1) 满足 a_1=1，且 a_(n+1)=1 + Σ_(k=1)^nka_k 求证：对任意 n> 1，√[n](a_n) < (n+1)/2 ． 在一个岛屿城市中，…
Mathematical Reflections 2021年第三期征解题
公众号原标题：Mathematical Reflections 2021年第三期征解题——中文翻译初级组 J553． 求方程 (x^2-2√(2)x)(x^2-2)=2021 的实数解． J554． 正实数 x，y，…
2021年北京市中学生数学竞赛高一年级试题
来源：【全网首发】2021高一数学竞赛全卷详解 2021年北京市中学生数学竞赛高一年级试题 2021 年 5 月 16 日 8:30 ~ 10:30 一、填空题（满分 40 分，…
2020年阿拉伯数学奥林匹克
公众号原标题：2020年阿拉伯数学奥林匹克——中文翻译x a x，y，z，t 为正实数，满足 xyzt=1 ．求证：1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)+1/(1+t)≥ 1． b 对于任意正实数 a，b，c，d，…
2021年基辅数学节
公众号原标题：2021年基辅数学节——中文翻译八年级组 求方程 (3a-bc)(3b-ac)(3c-ab)=1000 的整数解． 在一个方形网格的 11 个单元格中，…
一个n元不等式的引理
在昨天的文章中，有一道题目的等价形式如下：题目1 x，y，z，w 为非负实数，且 x+y+z+w=4 ．求证：(xyz)^(3/2)+(yzw)^(3/2)+(zwx)^(3/2)+(wxy)^(3/2)≤ 4． 将 …
几个不等式的证明
题目1 （2021年西班牙数学奥林匹克） 实数 a，b，c，d 满足 a+b+c+d=0，a^2+b^2+c^2+d^2=12 求 abcd 的最值以及取得最值时 a，b，c，d 的取值． 分析 最大值很容易得到，…
一个恒等式与一个复数不等式
首先来看一个常见的恒等变形：x+y+z+2=xyz 1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)=1 若将上式两端同除以 xyz 可得：1/(yz)+1/(zx)+1/(xy)+2/(xyz)=1 …
从取石子问题到一个象棋残局
昨天做了一道取石子问题，比较有意思． 题目1 有 4 堆石子，每一堆中的石子个数分别为 3、5、7、9 ．二人轮流从中取石子，每人每次可以从某一堆中取任意枚石子（至少 1 枚），最后取完者为胜，…
韦达跳跃(Vieta Jumping)的几道例题
昨天转载有关韦达跳跃（Vieta Jumping）的几篇文章，今天再补充几道题目．
一个有趣的拼图游戏——Untouchable 11
今天偶然看到一个拼图游戏：Untouchable 11．花了接近两个小时才完成，非常有意思． 下面是这个拼图游戏的出处． 规则是这样的：给定 11 块如图所示的拼图（其实就是正方体表面的全部 11 种展开图），…
三道百子遴选考试题目及解答
在5月2日和5月3日举办的百子遴选考试中，我为S5，S8和S9、10三个级别各供了一道题．下面是这三道题目及解答．
2021年乌克兰数学奥林匹克
公众号原标题：2021年乌克兰数学奥林匹克——中文翻译十年级 第一天 Alexey和Bogdan用两堆石头进行游戏．开始时，其中一堆中有 2021 块石头，第二堆是空的．从Bogdan开始，两人轮流进行操作．每次操作时，可以从其中任意一堆中捡起偶数块石头（大于零），…
2021年美国初中数学奥林匹克（USAJMO）
公众号原标题：2021年美国初中数学奥林匹克（USAJMO）——中文翻译昨天发的时候，第一题的公式打错了。给大家带来了不便，敬请谅解。以后一定会仔细审查的。第一天 记 N 为正整数集，求所有函数 f:N，使得对于任意正整数 a 和 b，有 f(a^2+b^2)=f(a)f(b)，…
2021年美国数学奥林匹克（USAMO）
公众号原标题：2021年美国数学奥林匹克（USAMO）——中文翻译第一天 以锐角 △ ABC 三边为边向外作矩形 BCC_1B_2，CAA_1C_2 和 ABB_1A_2 ．如果 ∠ BC_1C+∠ CA_1A+∠ AB_1B=180^(°)． 求证：B_1C_2，C_1A_2，…
