2021 年
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一道复数求值问题的另解及推广
本文首发于公众号：平行线竞赛强基 前两天，闫老师发了如下题目：又一道复数相关的求值题 题目 设 a，b，c，d 是 f(x)=x^4-3x^3+2x^2+5x-4 的零点，…
证明两多项式相同的几个方法
公众号原标题：【教学笔记】证明两多项式相同的几个方法前几天讲多项式时，我问了学生一个问题：最少通过几次整数赋值，能够证明两个整系数多项式和相同？这个问题有些宽泛
一道一试模拟题的分析过程
今天，天神给我看了一道一试的模拟题，题目如下：在集合 {0,±1,±2,…,±2010} 中，能表示成 (x^3-y)/(1+xy) x,y_+，x< y 的形式的个数是＿＿＿． 开始以为这是一道无穷递降的题目，…
几道用二进制解决的数列问题
公众号原标题：【教学笔记】几道用二进制解决的数列问题这是前两天给学生讲的几道数列题：题目1 （2013年高联二试）给定正整数 u,v ．数列 {a_n} 定义如下：a_1=u+v，对整数 m≥ 1，…
卡诺定理的两个证明
公众号原标题：【教学笔记】卡诺定理的两个证明这是今天在上课时讲的一道例题． 卡诺定理 三角形外心到三边的有向距 外心在边的形内一侧的距离为正，形外为负 之和等于其外接圆与内切圆半径之和． 设三角形为 △ ABC，外心为 O，O 在 BC，CA，…
有理根判定定理的一个妙用
公众号原标题：【教学笔记】有理根判定定理的一个妙用今天在上课时给初中的学生介绍了整系数多项式的有理根判定定理：定理 设 p/q p/q≠ 0 是整系数多项式 f(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+…+a_0 的一个有理根，…
一道清华强基不等式问题的解答和推广
2021年清华大学强基考试的第7题如下：题目1 已知 a,b,c≥ 0，a+b+c=1，求 a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) 的最大值． …
Mason-Stothers定理解一道中科大强基中的多项式题勘误
2021年中国科技大学的最后一题如下：题目 f(x)，g(x)，h(x) 为实系数非常数多项式，且两两互素．若 (f(x))^n+(g(x))^n=(h(x))^n，…
Mason-Stothers定理解一道中科大强基试题
2021年中国科技大学的最后一题如下：题目 f(x)，g(x)，h(x) 为实系数多项式，且两两互素．若 (f(x))^n+(g(x))^n=(h(x))^n，…
数学竞赛每日一练 第1～24期合集
今天开始上暑假课了，暑假期间比较忙，所以每日一练先告一段落。以下为目前已发的题目及解答合集。数学竞赛每日一练 第1期 数学竞赛每日一练 第1期解答 分类：不等式 数学竞赛每日一练 第2期 数学竞赛每日一练 第2期解答 …
数学竞赛每日一练 第24期解答
设 n≥ 2，x_1，x_2，…，x_n 为 (0,1) 内的 n 个两两不等的实数．证明：Σ_(i=1)^nΣ_(j=1)^n{x_i-x_j}^2≥((n-1)(2n-1))/6 其中 {x}=x-[x] 表示 x …
数学竞赛每日一练 第23期解答
本题为2021年浙江省高考第10题的加强 已知数列 {a_n} 满足 a_1=1，a_(n+1)=(a_n)/(1+√(a_n)) n^+，记数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，…
2021年德国数学奥林匹克解答
试题见：2021德国数学奥林匹克 中文翻译 求所有实数 a，b，c，d，使得 a，b 为 2x^2-3cx+8d 的两个互异根，且 c，…
数学竞赛每日一练 第22期解答
2021.06「根源杯」初高数学衔接联考二试第四题。求两个互素指数下 5^m+7^m 与 5^n+7^n 的公约数——先证 a^d−b^d 形式的引理，答案是 2 或 12
数学竞赛每日一练 第21期解答
若有且只有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线 y=x^3+ax 上，求实数 a 的值． 解答 若 a≥ 0，此曲线在 x> 0 时只位于第一象限．设 y 轴右侧正方形顶点为 A，B，…
数学竞赛每日一练 第20期解答
非零实数 a，b，c 满足 {a+b,b+c,c+a}={ab,bc,ca}． 求证：{a,b,c}={a^2-2,b^2-2,c^2-2}． 证明 设 f(x)= (x-a)(x-b)(x-c) = …
数学竞赛每日一练 第19期解答
设 a，b，c 是非零实数，求以下表达式的最小值：((a+3b)^2)/((a-b)^2)+((b+3c)^2)/((b-c)^2)+((c+3a)^2)/((c-a)^2)． 解答 设 x=(a+3b)/(a-b)，…
数学竞赛每日一练 第18期解答
已知数列 {a_n} 满足 a_n=√((2n-1)/(4n^2+1))，前 n 项和为 S_n，求与 S_128-S_32 最接近的整数． 解答 易知 √((2n-1)/(4n^2+1))< √(1/(2n+1))< …
数学竞赛每日一练 第17期解答
题目来源：2021年马其顿初中数学奥林匹克 另解见：李耀文——2021马其顿初中数学林匹克第5题解答 设 △ ABC 为锐角三角形，点 X 和 Y 分别在 AB 和 AC 上，…
数学竞赛每日一练 第24期
设 n≥ 2，x_1，x_2，…，x_n 为 (0,1) 内的 n 个两两不等的实数．证明：Σ_(i=1)^nΣ_(j=1)^n{x_i-x_j}^2≥((n-1)(2n-1))/6 其中 {x}=x-[x] 表示 x …
数学竞赛每日一练 第16期解答
a，b，c 为满足 1/(a^2)+1/(b^2)+1/(c^2)=27/4 的正实数．求证：(a^3+b^2)/(a^2+b^2)+(b^3+c^2)/(b^2+c^2)+(c^3+a^2)/(c^2+a^2)≥5/2…
2021年加拿大初中数学奥林匹克
公众号原标题：2021年加拿大初中数学奥林匹克——中文翻译本次考试的第3，4，5题分别与 2021加拿大数学奥林匹克 中文翻译 中的第1，2，4题相同。设 C_1 和 C_2 为同心两圆，C_1 在 C_2 内部． P_1 和 P_2 为 C_1 上的两点，…
数学竞赛每日一练 第23期
题目来源：2021年浙江省高考第10题 已知数列 {a_n} 满足 a_1=1，a_(n+1)=(a_n)/(1+√(a_n)) n^+，记数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，求证：5/2< S_100< 3 ．
数学竞赛每日一练 第22期
若 m，n 为两个互素的正整数，求最大公约数 (5^m+7^m,5^n+7^n) 的所有可能值．
数学竞赛每日一练 第15期解答
p 是一个素数，证明：不定方程 x^p+y^p=(3p)^p 没有 xy≠ 0 的整数解． 证明 p=2 时，由枚举法知结论显然成立． p 为奇素数时，…
数学竞赛每日一练 第14期解答
已知正方形的四个顶点都在函数 y=f(x) 图象上，且函数 y=f(x) 图象上的点 (x,y) 都满足 (x^3-4x-y)^2021+x^2021+x^3-3x-y=0 则这样的正方形最多有＿＿＿个． 解答 设 …
数学竞赛每日一练 第21期
若有且只有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线 y=x^3+ax 上，求实数 a 的值．
数学竞赛每日一练 第13期解答
2021年每日一练第13期（刘小平原创）。四边形 ABCD 中 AB=AD，CE 平分 ∠BCD，∠AFB=∠ABC、∠EAG=2∠BEC，求证 GF∥CE。解答取 P 使 CP=CB，用两次共圆把角度条件转成平行，再…
2021年泛非数学奥林匹克
公众号原标题：2021年泛非数学奥林匹克——中文翻译中文翻译 第一天 设 n 是一个大于 3 的整数．一个边长为 n 的正方形被平行于边的直线分为 n^2 个边长为 1 的小正方形．求以这 n^2 个边长为 1 小正方形的顶点为顶点，边长均不超过 3，…
数学竞赛每日一练 第20期
非零实数 a，b，c 满足 {a+b,b+c,c+a}={ab,bc,ca}． 求证：{a,b,c}={a^2-2,b^2-2,c^2-2}．
数学竞赛每日一练 第19期
设 a，b，c 是非零实数，求以下表达式的最小值：((a+3b)^2)/((a-b)^2)+((b+3c)^2)/((b-c)^2)+((c+3a)^2)/((c-a)^2)．
数学竞赛每日一练 第12期解答
已知数列 {a_n} 满足 a_1=1，a_(n+1)={ x_n+n ,x_n≤ n x_n-n ,x_n>n . 求满足不等式 a_r< r≤ 3^2017 的正整数 r 的个数． 解答 由数列的定义可知 …
数学竞赛每日一练 第11期解答
证明：存在无穷多个互不相似的三角形 △_n，其边长 a_n，b_n，c_n 为正整数，且 a_n^2，b_n^2，c_n^2 成等差数列． 证明 当 a_n^2，b_n^2，c_n^2 成等差数列，…
数学竞赛每日一练 第18期
已知数列 {a_n} 满足 a_n=√((2n-1)/(4n^2+1))，前 n 项和为 S_n，求与 S_128-S_32 最接近的整数．
数学竞赛每日一练 第10期解答
设 n 是大于 1 的偶数，整数 1< a_1< a_2< …< a_k< n 满足 [a_i,a_j]>n 对所有 1≤ i≠ j≤ k 成立．证明 1/(a_1)+1/(a_2)+…+1/(a_k)< 3/2． …
数学竞赛每日一练 第17期
设 △ ABC 为锐角三角形，点 X 和 Y 分别在 AB 和 AC 上，满足 BX=CY ． I_B 和 I_C 分别为 △ ABY 和 △ ACX 的内心，…
数学竞赛每日一练 第9期解答
数列 {x_n} 满足 x_1=7/2，x_(n+1) = x_n(x_n-2) ．设 x_2021=a/b，其中 a,b ∈ N 且互素．求证：若 p 为 a 的一个素因子，…
数学竞赛每日一练 第16期
a 题目来源：2021年马其顿初中数学奥林匹克 a，b，c 为满足 1/(a^2)+1/(b^2)+1/(c^2)=27/4 …
2021年马其顿初中数学奥林匹克
相关链接：2021年马其顿数学奥林匹克——中文翻译 2021年马其顿初中数学奥林匹克 在今年的奥林匹克竞赛中，有一些学生是朋友（朋友关系是相互的），也有一些学生不是朋友．不论将这些学生怎样分到两个考场，…
数学竞赛每日一练 第15期
是一个素数，证明：不定方程没有的整数解．
