2023 年
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2023年德国数学奥林匹克
公众号原标题：2023年德国数学奥林匹克——中文翻译程国根 译 第一天 1. 求所有整数对 (m,n)，n≥ m，使得 n^3+m^3-nm(n+m)=2023. 2. 将一个三角形的每条边双向延长与该边相同的长度，…
多边形内角余弦之和的取值范围
公众号原标题：【习题研讨】多边形内角余弦之和的取值范围在凸 n 边形 A_1A_2… A_n 中，求 Σ_(i=1)^ncos A_i 的最值（或确界）． 注：本题为我在做今年四川预赛第8题时所想，花了较长时间得到了一个复杂的答案（供参考）：n=3 时，…
2023年高联苏州市选拔赛试题（附最新版预赛试题合辑）
已加入2023预赛合辑，并修改了四川预赛第5题的输入错误
一个代数恒等式
公众号原标题：【习题研讨】一个代数恒等式设 a_1,a_2,…,a_n 为两两不等的实数，求证：Σ_(i=1)^n(a_i∏_(j≠ i)(a_i+a_j)/(a_i-a_j))=Σ_(i=1)^na_i. …
2023年马其顿国家队选拔考试
公众号原标题：2023年马其顿国家队选拔考试——中文翻译tex文稿：2023年马其顿国家队选拔考试 程国根 译 第一天 1. 对正整数 n>1，记 s(n) 为 n 的最小素因子，d(n) 为 n 的正约数个数．能否选取 2023 个正整数 a_1,a_2,…,a_2023，…
2023年四川预赛第8题解答
这道题最近很火，不少粉丝让我写个解答。题目：（2023年四川预赛第8题） 设 A,B,C 是 △ ABC 的三个内角，…
2023年伊朗数学奥林匹克（第二轮）
公众号原标题：2023年伊朗数学奥林匹克（第二轮）——中文翻译tex文稿：2023年伊朗数学奥林匹克（第二轮） 程国根 译 第一天 1. 在直角 △ ABC 中，∠ A=90^(°)，点 P 为一个定点，…
两道高联模拟卷中的离散不等式解答
以下两题分别出自最近的爱尖子和猿辅导高联模拟，两题难度都不大，且风格相似，这里一起写个解答． 已知 a_1,a_2,…,a_10 为整数，且满足 Σ_(k=1)^10ka_k=2023，…
2023年泰国数学奥林匹克
公众号原标题：2023年泰国数学奥林匹克——中文翻译tex文稿：2023年泰国数学奥林匹克 程国根 译 第一天 1. 集合 A 由 20 个连续正整数组成，且 A 的全体元素之积、全体元素之和均不为 23 的倍数．求证：A 的全体元素之积不为完全平方数． 2. 在 △ …
2023 年巴尔干数学奥林匹克马其顿代表队选拔考试
公众号原标题：2023 年巴尔干数学奥林匹克马其顿代表队选拔考试——中文翻译tex文稿：2023年巴尔干数学奥林匹克马其顿代表队选拔考试 程国根 译 1. 正实数列 {a_n}_(n=1)^(∞) 定义如下：a_1=1，a_2=2，且对任意正整数 n，…
2023年哈佛-麻省邀请赛（HMIC）
公众号原标题：2023年哈佛-麻省邀请赛（HMIC）——中文翻译附tex文档
2023年中科大创新班初试数学试题解答
复数 z 满足 z^2023-z-1=0，求证：|z|≤ 1 当且仅当 (z)≤-1/2 ． 证明：由题意知：z^2023=z+1，…
2023年波兰数学奥林匹克决赛（初级组）
公众号原标题：2023年波兰数学奥林匹克决赛（初级组）——中文翻译1. 是否存在实数 x,y,z，使得 x+1/y=z, y+1/z=x, z+1/x=y. 2. 正整数 a,b 满足 a>b>1，…
一道困难的n元不等式
公众号原标题：【习题研讨】一道困难的n元不等式给定正整数 n≥ 3 ．求所有实数 t，使得不等式 a_1+a_2+…+a_n-ta_1a_2… a_n≤ n-1 对满足 a_1^2+a_2^2+…+a_n^2=n-1 的任意实数 a_1,a_2,…,a_n …
用Binet-Cauchy公式证明一道不等式
Binet Cauchy（比内 柯西）公式 1 现在我们用Binet Cauchy公式证明一道不等式：题目：正整数 n≥ 4，…
2023年俄罗斯数学奥林匹克不等式的解答
2023年俄罗斯数学奥林匹克十年级组第八题如下：给定实数 a∈(0,1) ．今知正数 x_0,x_1,…,x_n 满足条件 x_0+x_1+…+x_n=n+a 和 …
2023年罗马尼亚国家数学奥林匹克（五至七年级组）
公众号原标题：2023年罗马尼亚国家数学奥林匹克（五至七年级组）——中文翻译龙老师翻译了八至十二年级组的题目，我把五、六、七年级的也一起翻译了。这次是真·小奥题了
2023年越南国家队选拔考试
公众号原标题：2023年越南国家队选拔考试——中文翻译中文翻译 第一天 1. 一个学校里有 A 和 B 两个班，分别有 m 和 n 名学生．两个班的学生围成一圈，然后每个学生会得到一些糖果，糖果的数量等于该学生左边连续的同班同学的个数（若左边不为同班同学，…
第十二届XMO不等式的推广及证明
第十二届XMO的二试第二题如下：已知 a_1,a_2,…,a_22∈[1,2]，求 (Σ_(i=1)^22a_ia_(i+1))/((Σ_(i=1)^22a_i)^2) 的最大值．（其中 a_23=a_1） …
2023年卡内基梅隆大学信息与数学竞赛（代数、数论组）
公众号原标题：2023年卡内基梅隆大学信息与数学竞赛（代数、数论组）——中文翻译代数、数论组 1. 非负整数 a,b,c,d 满足 (a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2)^2=2023. 求 a^3+b^3+c^3+d^3 ． 2. 求 a 的最大值，使得存在实数 b,c>1，…
2023年马其顿数学奥林匹克
公众号原标题：2023年马其顿数学奥林匹克——中文翻译以下为tex（题号处有AoPS超链接）： 1. 求所有函数 f：R，使得对任意 x,y，都有：xf(x+y)+yf(y-x) = f(x^2+y^2). 2. 设 p,q 均为奇素数，a 为正整数，…
2023年乌克兰数学奥林匹克
公众号原标题：2023年乌克兰数学奥林匹克——中文翻译八年级组 第一天 Oleksiy在 8× 8 棋盘的每一格中各写入一个正整数．对于每一对相邻的格子，Fedir写下它们内数字的积，并将所有积相加．而Oleksiy则写下每一对相邻格子内数字的和，…
2023年美国第四届圣诞数学奥林匹克
公众号原标题：2023年美国第四届圣诞数学奥林匹克——中文翻译这是aops上圣诞节讨论组举办的一系列比赛之一，CIME是AIME的模拟赛，CAMO是USAMO的模拟赛，CJMO是USAJMO的模拟赛
2023年韩国数学奥林匹克决赛第6题不等式证明
对正整数 n≥ 3 和实数 a_1，…，a_n，b_1，…，b_n，求证：Σ_(i=1)^n a_i(b_i-b_(i+3))≤(3n)/8Σ_(i=1)^n((a_i-a_(i+1))^2+(b_i-b_(i+1))^…
2023年上海市高三数学竞赛试题解答
2023 年上海市高三数学竞赛试题解答。原文附有试题 PDF
2023年韩国数学奥林匹克决赛
公众号原标题：2023年韩国数学奥林匹克决赛——中文翻译第一天 在 △ ABC 中，AB< AC，点 D 和点 E 分别在线段 AB 和 AC 上（异于端点）．点 P 满足 PB=PD，…
正可约多项式
公众号原标题：【习题研讨】正可约多项式称多项式 f(x) 为 正可约多项式，如果 f(x) 能写为为两个非常数的正系数多项式之积．设多项式 f(x) 满足 f(0)≠ 0，且存在正整数 n，使得 f(x^n) 是一个正可约多项式，…
2023年土耳其欧洲女子数学奥林匹克代表队选拔考试
公众号原标题：2023年土耳其欧洲女子数学奥林匹克代表队选拔考试——中文翻译第一天 设 △ O_1O_2O_3 为锐角三角形．分别以 O_1、O_2、O_3 为圆心，作三个两两相切的圆 ω_1、ω_2、ω_3 ．设 △ O_1O_2O_3 的外接圆和 ω_i 交于点 A_i、B_i （i=1，…
一道复数不等式
公众号原标题：【习题研讨】一道复数不等式给定正实数 t，求证：对任意 z_1，z_2，都有 |1+z_1|+|1+z_2|+|1+tz_1z_2|≥ 1+min{t,1/t}. 欢迎各位读者将解答发送至邮箱encifanggen@qq.com
求俱乐部个数的最大值
公众号原标题：【习题研讨】求俱乐部个数的最大值昨天发的题目有误，感谢万宏老师指出，今天进行了更正
2023年菲律宾数学奥林匹克
公众号原标题：2023年菲律宾数学奥林匹克——中文翻译第一天 求所有正整数对 (a,b)，使得 a^2+b^2+25=15ab，且 a^2+ab+b^2 是一个素数． 求所有素数 p，使得 (2^(p+1)-4)/p 是一个完全平方数． 在 △ ABC 中，…
基于柯西不等式的一种代换方法
我们先看一道柯西不等式的入门题目：题目1: 设 n ≥ 3 为正整数，a、b 为给定的实数，实数 x_1，x_2，…，…
Mathematical Reflections 2023年第二期征解题
公众号原标题：Mathematical Reflections 2023年第二期征解题——中文翻译Junior Problems J619. 在 △ ABC 中，AB^4+BC^4+CA^4=2AB^2· BC^2+AB^2· CA^2+2BC^2· CA^2. 求 ∠ A 的所有可能值． J620. △ ABC …
2023年西班牙数学奥林匹克
公众号原标题：2023年西班牙数学奥林匹克——中文翻译第一天 一个 3× 3× 3 的正方体中由 27 个小正方体组成，每个小正方体内部都由一盏灯，每盏灯只有“开”和“关”两种状态．除最中心小正方体外，其余小正方体内都有一个开关．每次按动开关，…
函数有三个零点——解答
题目来源：对任意的 θ∈(0,π)，证明：函数 F(x)=(x^3-3x)sinθ+(3x^2-1)cosθ 在 (-∞,+∞) 上都有三个零点． 证明：若 cos θ=0，则 F(x)=x^3-3x，有三个零点：0，…
三道ARO地区轮不等式问题的解答
感谢王卫华老师翻译了2023年俄罗斯数学奥林匹克——地区轮的题目，简单做了一下三道不等式题目
2023年孟加拉国数学奥林匹克
公众号原标题：2023年孟加拉国数学奥林匹克——中文翻译初级组 求所有非负整数 (x,y)，使得 x!+2^y=(x+1)! 点 A、B、C 在同一条直线上顺次排列，以 AB 为直径作半圆 ω_1，以 AC 为直径作半圆 ω_2，…
三次方程根的分布
公众号原标题：【习题研讨】三次方程根的分布a，b，c 为给定实数，求证：4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c 在 (1/6,5/6) 上至少有一个根． 注：本题为一道经典高数题的加强，…
2016年浙江高考第8题的分析
昨天宋老师分享了2016年的浙江高考的第8题，这里分享一下我的做法． 已知实数 a，b，c ． A 若 |a^2+b+c|+|a+b^2+c|≤ 1，…
利用欧拉分解公式解RMM第一题
2023年罗马尼亚大师赛第一天第1题如下：求所有质数 p 和正整数 x，y，使得 x^3+y^3=p(xy+p). 看到这题的立方和形式，…
