2025 年
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2026跨年题，祝大家新年快乐！
设 a_1,a_2,…,a_22 为 1,1,2,2,…,11,11 的一个排列，且具有如下性质：若 a_i=a_j （1≤ i< j≤ 22），则对任意 i< k< j，都有 a_k< a_i；…
2026年以色列IMO代表队选拔考试
公众号原标题：2026年以色列IMO代表队选拔考试——中文翻译2026年以色列IMO代表队选拔考试——中文翻译
一分钟做不等式系列（12）——2025年韩国数学奥林匹克第二轮
题目来源：2025韩国数学奥林匹克 第二轮 中文翻译
一分钟做不等式系列（11）——2025年巴西数学奥林匹克
题目来源：2025巴西数学奥林匹克 中文翻译 今天的题目确实非常水，就不多说了（能放进解答比题目短系列了）。后台有读者说这个系列好久没有更新了，主要是我只想放一些新的比赛题，欢迎大家多多投稿难度适合的新题目
半个世纪前的IMO预选题，今天还活跃在考场之上
1975年IMO预选题：设 x_0=5，x_(n+1)=x_n+1/(x_n)，∀ n≥ 0 ．求证：45< x_1000< 45.1 ． …
仿射密码的应用——记一次失败的解题经历
前几天，在群里看到一道题：第一想法就是构造双射，但当时没细想，忙别的事去了。今晚申强老师来问我，有没有看他的做法（只有8个字“了解一下仿射密码”）。…
以恩的“作弊”石子局：背后竟是今年女奥的策略问题
希望对数学的热爱和自信能够一直伴随着你
青岛高三开学考压轴题？广东预赛加试题！
这是前两天青岛高三开学考的第18题：我们只看最后一小问，上一小问求出 a=1-2ln 2 ．于是题目如下：x_1,x_2,x_3,x_4,x_5≥ 0，…
高联中的“日期题”盘点
众所周知，几乎每年高联中都会出现一道数据含有考试日期的题目，这里我们对近10年A卷中的“日期题”做个盘点，仅作为娱乐。如果题目用到了数字的特殊性，会简单进行说明。…
2025年高联二试代数题的数形结合解法
下午在返校的车上突然想到的（其实是道陈题的推广，见 数形结合问题12例 中的第5题，该文章的封面图就是下面解答中的图） 联赛结束，终于有一个晚上陪女儿了，所以拖到了现在才写。写得仓促，过程比较简略，字也有些潦草。…
2019年联赛A卷数论题的一个自然证法
题目：设 m 为整数，|m|≥ 2 ．整数数列 {a_n} 满足：a_1,a_2 不全为零，且对任意正整数 n，均有 a_(n+2)=a_(n+1)-ma_n ．求证：若存在整数 r,s （r>s≥ 2）使得 …
高联一试得分情况可能探究
（找不到合适的封面了，随便从相册配个图。） 今天我们来研究一下高联一试可能有多少种不同的得分，此问题本身也为一试填空难度。已知信息：高联一试共8个填空题，3个解答题。…
2025年MEMO团体赛第1题及解答
上午刚看到的题，感谢赵力博士的翻译。第1题比较简单，很快就做出来了，顺手写一下。题目：（2025年MEMO团体赛第1题） Bob 有 n 枚硬币，…
2025年USAKNMO模拟赛
公众号原标题：2025年USAKNMO模拟赛——中文翻译AoPS上的一个模拟赛，赛制同USAMO．
用圆幂定理证明一道两圆相切问题
题目：在 △ ABC 中，BC 中点为 M，弧 BAC 的中点为 N ． L 为 CN 上一点，△ LMN 的外心为 O ．求证：△ LNO 的外接圆与 △ ABC 的 A 鸡爪圆相切． 注：事实上，…
一道来自朝鲜的离散不等式问题
之前讲过很多次这道题，今天看AoPS才发现这是2016年朝鲜的国家队选拔考试题
一道概率问题的解答
题目：甲、乙两人进行若干次猜拳，两人约定若某次猜拳后甲累计胜过乙的次数大于猜拳次数的一半，则游戏结束，甲获胜，否则游戏继续进行. 则甲能在有限次猜拳后获胜的概率是＿＿＿． 解答：每次猜拳甲胜的概率为 1/3，…
2025年沙雷金几何奥林匹克决赛试题
公众号原标题：2025年沙雷金几何奥林匹克决赛试题——中文翻译2025年沙雷金几何奥林匹克决赛试题——中文翻译
《中等数学增刊》一道代数题另证
题目：设实数 a_1,a_2,…,a_2025 满足 ∏_(i=1)^2025(a_i+1)=∏_(i=1)^2025(a_i-1). 求 Σ_(i=1)^2025|a_i| 的最小值． 解答：（以下用奇数 n≥ 3 …
小学生也能看懂的2024年IMO预选题A2解答
题目：设 n 是正整数，非负整数 x_0,x_1,…,x_n 满足 x_0+x_1+…+x_n=n ．求 S=2^0x_0^2+2^1x_1^2+…+2^nx_n^2 的最小可能值． 解答：构造数表如下：即对任意 …
2025年德国数学奥林匹克
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用线性幂差引理解2025年清华强基立体几何题
题目：正三棱锥 S-ABC 中，底边长为 4，SA,SB,SC 的中点分别为 A',B',C'，A'B' 的中点为 D，三棱锥 S-ABC' 的外接球球心为 O，…
用向量法证明近期两道平面几何二试模拟题
题目1：在 △ ABC 中，点 D,E,F 分别在 BC,CA,AB 上，满足 (BD)/(DC)=(AC)/(AB)，且 BE=CF，E,F 在 BC 的同侧． M 为线段 BC 的中点，N 为线段 EF 的中点，…
2025年新高考1卷压轴题的不求导优雅解法
题目：若存在实数 φ，使得对任意实数 x，都有 5cos x-cos(5x+φ)≤ b. 求 b 的最小值． 解答：一方面，不妨设 φ∈[0,2π) ．取 x=(π-φ)/6∈(-(π)/6,(π)/6]，…
用非正常方法带你20分钟速通广东预赛填空
周六考完当天晚上，笔者花了20分钟，用各种不严谨的“非正常方法”，完美速通了这次广东预赛的填空题，这里作个记录。本文纯属娱乐，请勿模仿！请勿模仿！！…
简证第十届爱尖子杯二试的三元不等式
求所有的实数 t，使得对任意正实数 a,b,c，都有 2+t(a+b+c)+abc≥(t+1)(√(ab)+√(bc)+√(ca)). 解答：令 a=b=x，c=1/(x^3)，…
高考经典极值点偏移问题另证——2021年新高考1卷第22题
高考经典极值点偏移问题另证——2021 年新高考 1 卷第 22 题的另一种解法
一分钟做不等式系列（10）——2024年IFYM&2025年广州市预赛
去年龙老师翻译的时候就做了，没想到被用作了广州的预赛题。思路比较简单，就是最大值取相同的那些项是可以合并的，设出来之后配方就可以，但过程有一点难写
2025年IDMC（Iran Dragon Math Competition）
公众号原标题：2025年IDMC（Iran Dragon Math Competition）——中文翻译2025年IDMC（Iran Dragon Math Competition）——中文翻译
2025年尼泊尔IMO国家队选拔考试
公众号原标题：2025年尼泊尔IMO国家队选拔考试——中文翻译2025年尼泊尔IMO国家队选拔考试——中文翻译
大湾区二模第11题解答之矩生成函数（MGF）
今天的大湾区二模第11题是一道新定义题目，如下：注 这里的 M_X(t) 为随机变量 X 的矩生成函数（Moment Generating Function，MGF），…
一道因看错题目产生的好题
2023年北方希望之星数学邀请赛第1题如下：设正实数 a_1,a_2,…,a_10 满足：（1）对于 1≤ i≤ 10，有 a_i≥1/i；…
一分钟做不等式系列（9）——2025 Serbian TST for the BMO
这个比赛的中文名字太长，打个英文的吧… 题目来源：2025巴尔干数学奥林匹克塞尔维亚代表队选拔考试 中文翻译
这道全国大学生数学竞赛的多项式题目，很适合作为一试题
题目：（2025年全国大学生数学竞赛决赛（数学类）第三题） 设实系数多项式 p(x) 和 q(x) 分别为：p(x)=x^n+a_1x^(n-1)+…+a_n, q(x)=x^m+b_1x^(m-1)+…+a_m. …
一分钟做不等式系列（8）——2025年菲律宾MO
一分钟做不等式系列（8）——2025 年菲律宾数学奥林匹克第 27 题：求使四元不等式恒成立的最大实数
分享一些数字巧合
今天看到一篇比较火的文章，介绍了 π^2≈ g （g 是地球上的重力加速度）这个巧合的来源．见 g与π²极为接近，巧合还是必然？其实，这个巧合我也经常分享给学生，…
2025年美国数学奥林匹克（初级组）
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既然都是隐藏思路，不如再彻底一些
早上看到的一道小题，其它解答我就不贴了。说一下我的观点：这类题目的做法，往往需要通过待定系数或者求导，求出（或者猜出）取等条件，再进行各种“神级放缩”。…
2025年USAMO几何题证明
上课前看到数之谜上USAMO的题目出来了，看了一下几何题，很快就做出来了… 题目：证明：作 (AFP) 的外心 O，A 的对径点 Q，…
温州二模多选压轴之尼姆博弈
一、游戏规则与直觉探索 假设你和朋友玩这样一个游戏：桌上有若干堆石子，两人轮流从任意一堆拿走至少一个石子，无法操作的人判负。…
