不等式
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恒等式与不等式的证明一例
下面是一个常见的恒等变形：ab+bc+ca+2abc=1 1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)=2 a/(a+1)+b/(b+1)+c/(c+1)=2 此外，若 a,b,c≥ 0，…
2024年北大金秋营第2题不等式的证明
简单的问题，熟悉最后那个恒等式就很好做了（用复数的模长易证）．不过都4202年了还在考三元不等式，难以评价…
一道不等式问题
公众号原标题：【答读者问】一道不等式问题给定整数 n≥ 2，求最大的正整数 k，使得对任意 a_1≥ a_2≥…≥ a_n≥ 0，都有 ((a_1+a_2+…+a_k)/k)^2≥(a_1^2+a_2^2+…+a_n^2)/n. 解答：k 的最大值为 …
2022年高联不等式分析
今天来看号称高联史上最难的不等式：2022年高联A卷第三题
用数学归纳法证明一道俄罗斯不等式
假设 0≤ x_i≤ 1，求证：∏_(i=1)^n(1-x_ix_(i+1)+x_(i+1)^2)≥ 1，其中 x_(n+1)=x_1 ． 考虑到变量之间没有联系，待证式左边为求积形式，…
2024年尼泊尔数学奥林匹克不等式另证
高航老师在公众号上发了2024年尼泊尔数学奥林匹克不等式的一个证明：二次比一次结构巧解2024年尼泊尔数学奥林匹克不等式题 事实上，…
既然命题人都出洛必达法则了，那我用积分不等式来做也不过分吧
这是前两天的金丽衢十二校二模试卷的最后一题：题干中介绍了不完全版的洛必达法则（还需要说明使用条件），第（3）问要证明的三角不等式可以先转换到区间 (0,(π)/2)，再求导证明。…
当斐波那契数列遇到切比雪夫多项式
龚固老师今天发了一篇文章：当斐波那契数列遇到不定方程 ． 我也凑个热闹，发个斐波那契数列与切比雪夫多项式相联系的练习题．题目比较简单，…
2024年印度EGMO代表队选拔考试不等式的解答
题目： 给定 a_1,a_2,…,a_10 是正实数，求 Σ_(i=1)^10⌊(7a_i)/(a_i+a_(i+1))⌋ 的最小值，…
解答一道较复杂的二元不等式
题目：已知正实数 a,b 满足 1/(a^2)+1/(b^2)=1/2 ．求 b/(a+1)+a/(b+1)+√(1/(a^2+b^2+1)) 的最小值． 答案：当 a=b=2 时，…
今天生日，发道简单的不等式纪念一下
问题：正实数列 {a_n} 满足对任意正整数 n，都有 a_(n+1)^2≥ (a_1^2)/(1^3)+(a_2^2)/(2^3)+…+(a_n^2)/(n^3). 求证：存在正实数 N，…
一道组合型不等式
公众号原标题：【习题研讨】一道组合型不等式给定正整数 n，设 φ(1),φ(2),…,φ(n) 为 1,2,…,n 的任意一个排列．求 f(n)=Σ_(i=1)^([n/2])φ(i)+Σ_(i=[n/2]+1)^nφ^(-1)(i) 的最小值，…
2023年温州摇篮杯压轴不等式解答
{\LARGE\bfseries 2023年温州摇篮杯压轴不等式解答} {\small 2023 09 18} {\small 原文链接 } 上午有老师问了一道不等式，是今年温州摇篮杯的最后一题，…
一道三元不等式简证
这是后台读者问的一道题，睡前写一下． 实数 a,b,c 满足 a^2+b^2+c^2=1，求 a+b+c-2abc 的最大值． 解答：取 a=b=(√(2))/2，c=0，…
两道高联模拟卷中的离散不等式解答
以下两题分别出自最近的爱尖子和猿辅导高联模拟，两题难度都不大，且风格相似，这里一起写个解答． 已知 a_1,a_2,…,a_10 为整数，且满足 Σ_(k=1)^10ka_k=2023，…
一道困难的n元不等式
公众号原标题：【习题研讨】一道困难的n元不等式给定正整数 n≥ 3 ．求所有实数 t，使得不等式 a_1+a_2+…+a_n-ta_1a_2… a_n≤ n-1 对满足 a_1^2+a_2^2+…+a_n^2=n-1 的任意实数 a_1,a_2,…,a_n …
用Binet-Cauchy公式证明一道不等式
Binet Cauchy（比内 柯西）公式 1 现在我们用Binet Cauchy公式证明一道不等式：题目：正整数 n≥ 4，…
2023年俄罗斯数学奥林匹克不等式的解答
2023年俄罗斯数学奥林匹克十年级组第八题如下：给定实数 a∈(0,1) ．今知正数 x_0,x_1,…,x_n 满足条件 x_0+x_1+…+x_n=n+a 和 …
第十二届XMO不等式的推广及证明
第十二届XMO的二试第二题如下：已知 a_1,a_2,…,a_22∈[1,2]，求 (Σ_(i=1)^22a_ia_(i+1))/((Σ_(i=1)^22a_i)^2) 的最大值．（其中 a_23=a_1） …
2023年韩国数学奥林匹克决赛第6题不等式证明
对正整数 n≥ 3 和实数 a_1，…，a_n，b_1，…，b_n，求证：Σ_(i=1)^n a_i(b_i-b_(i+3))≤(3n)/8Σ_(i=1)^n((a_i-a_(i+1))^2+(b_i-b_(i+1))^…
一道复数不等式
公众号原标题：【习题研讨】一道复数不等式给定正实数 t，求证：对任意 z_1，z_2，都有 |1+z_1|+|1+z_2|+|1+tz_1z_2|≥ 1+min{t,1/t}. 欢迎各位读者将解答发送至邮箱encifanggen@qq.com
基于柯西不等式的一种代换方法
我们先看一道柯西不等式的入门题目：题目1: 设 n ≥ 3 为正整数，a、b 为给定的实数，实数 x_1，x_2，…，…
三道ARO地区轮不等式问题的解答
感谢王卫华老师翻译了2023年俄罗斯数学奥林匹克——地区轮的题目，简单做了一下三道不等式题目
牛顿不等式的初等证明
在 《麦克劳林不等式的初等证明》 一文中，龚固老师用数学归纳法给出了麦克劳林不等式的一个初等证明。这里我也尝试用数学归纳法来证明牛顿不等式
一道不等式的若干推广
《命题人讲座——代数不等式》中有一道例题：正实数 a，b，c 满足 a+b+c=3 ．证明：1/(a^2)+1/(b^2)+1/(c^2)≥ a^2+b^2+c^2. 该不等式可加强为：正实数 a，b，…
两道条件为x+y+z=xy+yz+zx的不等式
今天，在不等式爱好者群中，吴老师问了如下不等式：实数 x，y，z 满足 x+y+z=xy+yz+zx ．证明：x/(x^2+1)+y/(y^2+1)+z/(z^2+1)≥ -1/2. 以下为我的证明：引理：若 …
利用Schur不等式的一个加强证明Iran96不等式
求最大的正实数 k，使得对任意 a，b，c≥ 0，都有 Σ a(a-b)(a-c)≥ k((a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2)/((a+b)(b+c)(c+a)). 证明：令 c=0 …
嵌入不等式的n元推广
x_k≥ 0，1≤ k≤ n，x_(n+1)=x_1，α_k∈(0,π) 且 Σ_(k=1)^nα_k=π，则 cos(π)/nΣ_(k=1)^nx_k^2≥Σ_(k=1)^nx_kx_(k+1)cosα_k 特别地，…
一道预赛不等式题的初等解法
已知 f(x,y)=x^3+y^3+x^2y+xy^2-3(x^2+y^2+xy)+3(x+y)，且 x,y≥ 1/2，求 f(x,y) 的最小值． （2011年河北省预赛） 这道预赛题的背景比较明显，…
2022年新疆预赛不等式的证明
题目 若 2023 个实数 x_1，x_2，…，x_2023 满足 x_1^2+x_2^2+…+x_2023^2=1，…
两道不等式问题的解答
正实数 a，b，c 满足 ab+bc+ca=3，求证：(bc)/(1+a^4)+(ca)/(1+b^4)+(ab)/(1+c^4)≥3/2. 2022年菲律宾数学奥林匹克第二天第3题 证明：注意到 …
20道用阿贝尔变换证明的不等式
阿贝尔分部求和公式：令 S_0=0，S_k=Σ_(i=1)^ka_i （1≤ k≤ n），则 Σ_(k=1)^n a_k b_k=Σ_(k=1)^(n-1) S_k(b_k-b_(k+1))+b_n S_n． …
16道用数学归纳法证明的不等式
用数学归纳法证明下列不等式：（柯西不等式）设 a_1,a_2,…,a_n 和 b_1,b_2,…,b_n 是两个实数列，…
32道含绝对值的不等式
两个实数列 a_1,…,a_n;b_1,…,b_n 满足 Σ a_i^2=Σ b_i^2 = 1，证明 (a_1b_2-a_2b_1)^2≤ 2 | a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n-1|. 设 a_1, …
Fan不等式相关问题的整理
最近在各个微信群里看到了一些不等式，都和Fan不等式有关．本文简单地做个整理：设 b_i，i=1，2，…，n，且 Σ_(i=1)^nb_i=0 ．则 Σ_(i=1)^n b_i b_(i+1) ≤ cos (2 …
单墫教授一道不等式的另证及推广
近段时间没怎么做题，今晚翻看各公众号的题目，发现单墫教授发的一道不等式难题：设 a，b，c> 0，a+b+c=ab+bc+ca ．求证：√(ab)+√(bc)+√(ca)≥ 2+√(abc)． 不少老师给出了证明，…
一道IMOC不等式及加强的证明
2021年中国台湾IMOC代数组第7题如下：（全部试题见：2021年中国台湾IMOC中文翻译（全）） 题目：对任意满足 a^2+b^2+c^2+d^2=4 的正实数 a，b，c，d，…
一道清华强基不等式问题的解答和推广
2021年清华大学强基考试的第7题如下：题目1 已知 a,b,c≥ 0，a+b+c=1，求 a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) 的最大值． …
一个三元不等式
题目1 非负实数 a，b，c 满足 a+b+c=6，求 ∑_(cyc)√(a^(2)+bc) 的最大值． 分析1 首先当然是猜测取得最值的条件，代入几组特殊的 (a,b,c)，…
一个n元不等式的引理
在昨天的文章中，有一道题目的等价形式如下：题目1 x，y，z，w 为非负实数，且 x+y+z+w=4 ．求证：(xyz)^(3/2)+(yzw)^(3/2)+(zwx)^(3/2)+(wxy)^(3/2)≤ 4． 将 …
